The geometry of random walk isomorphism theorems

The classical random walk isomorphism theorems relate the local times of a continuous-time random walk to the square of a Gaussian free field. A Gaussian free field is a spin system that takes values in Euclidean space, and this article generalises the classical isomorphism theorems to spin systems taking values in hyperbolic and spherical geometries. The corresponding random walks are no longer Markovian: they are the vertex-reinforced and vertex-diminished jump processes. We also investigate supersymmetric versions of these formulas.

Our proofs are based on exploiting the continuous symmetries of the corresponding spin systems. The classical isomorphism theorems use the translation symmetry of Euclidean space, while in hyperbolic and spherical geometries the relevant symmetries are Lorentz boosts and rotations, respectively. These very short proofs are new even in the Euclidean case.

Isomorphism theorems are useful tools, and to illustrate this we present several applications. These include simple proofs of exponential decay for spin system correlations, exact formulas for the resolvents of the joint processes of random walks together with their local times, and a new derivation of the Sabot–Tarrès formula for the limiting local time of the vertex-reinforced jump process.

Les théorèmes classiques d’isomorphisme de marche aléatoire relient les heures locales d’une marche aléatoire en temps continu au carré d’un champ libre gaussien. Un champ libre gaussien est un système de spin qui prend des valeurs dans l’espace euclidien, et cet article généralise les théorèmes d’isomorphisme classiques aux systèmes de spin prenant des valeurs de géométries hyperboliques et sphériques. Les marche aléatoires correspondantes ne sont plus markoviennes : elles sont les processus de saut renforcé par sommet et de saut réduit par sommet. Nous étudions également les versions supersymétriques de ces formules.

Nos preuves sont basées sur l’exploitation des symétries continues des systèmes de spin correspondants. Les théorèmes d’isomorphisme classiques utilisent la symétrie de traduction de l’espace euclidien, tandis qu’en géométries hyperboliques et sphériques les symétries pertinentes sont respectivement des amplificateurs de Lorentz et des rotations. Ces très courtes preuves sont nouvelles même dans le cas euclidien.

Les théorèmes d’isomorphisme sont des outils utiles, et pour illustrer cela, nous présentons plusieurs applications. Celles-ci incluent notamment de simples preuves de décroissance exponentielle pour des corrélations du système de spin, des formules exactes pour les résolvants des processus conjoints de marches aléatoires combinés à leur heure locale, et une nouvelle dérivation de la formule de Sabot–Tarrès pour l’heure locale limitée du processus de saut renforcé par sommet.